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  • 单步二叉树定价模型——风险中性定价的威力

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    吴宇   2016-1-6 11:08   29815   5
    今天,我们在上一个文章的基础上稍加以抽象化。让我们来进入这样一个无套利机会金融市?。菏谐∩嫌幸恢晃薹缦帐找娌?,年收益率为r,又有一只股票,目前价格为S(0)。

    一年后股价只有两种可能:要么上涨到S(u),上涨的概率为p(u),要么或下跌至S(d),下跌的概率为p(d)。同样地,如果另有一份欧式认购期权,行权价K,一年后到期,那么这份认购期权现在到底值多少钱呢?

    我们构造以下投资组合来复制期权头寸:
    • 投资W1份无风险收益产品;
    • 投资W2股标的股票。

    使得这样的投资组合满足:
    W1×(1+r)+W2×S(0)(1+u)=C(u)
    W1×(1+r)+W2×S(0)(1+d)=C(d)

    这是一个二元一次方程组,只要系数矩阵是可逆的,就必定有唯一解,所以在u>r>d>-1的假设下,这样的复制是实际存在且唯一的。通过简单的解方程计算,我们可以解出:
    W1=[C(d)(1+u)-C(u)(1+d)] / [(1+r)(u-d)];
    W2= [C(u)-C(d) ] / [S(0)(u-d)]。

    于是,同样根据市场无套利机会的假设,我们知道期权在0时刻的价值就应等于复制资产在0时刻的价值,即C(0)=W1+W2×S(0)

    这就是单步二叉树定价的公式。我们通过无套利假设,神奇地得到了一个期权价格的解析式。其中,r表示无风险利率,u表示股价上涨率,d表示股价下跌率,C(u)=max(S(u)-K,0),C(d)=max(S(d)-K,0)。

    我们继续做一个有心人,稍稍观察一下C(u)和 C(d)前面的系数。若我们记q(u)=(r-d)/(u-d),q(d)=(u-r)/(u-d),且在u>r>d>-1的假设下,那么我们发现q(u)和q(d)是一个介于0与1之间的数,且这两个数的和恰好等于1。

    在我们曾经接触过的概念中,哪一个概念与q(u)和q(d)的性质如此类似呢?对了!就是概率。虽然q(u)和q(d)不是股价真实上涨和下跌的概率,但我们可以将其看成另一个概率分布,这个概率我们称为“风险中性概率”。

    我们看到,期权的定价C(0) 等于未来收益在风险中性概率下期望值的贴现值,竟然与真实概率分布p(u)、p(d)无关,这令我们如此意外!

    由于r是已知的,C(u)和C(d)分别通过S(u)和S(d)很容易求得,期权定价的关键便在于求出q(u)和q(d)。
    事实上,风险中性概率是假设所有资产的期望收益等于无风险收益下求得的。因此,根据这一原则,我们可以得到:
    S(0)×(1+r)=S(u)×q(u)+S(d)×q(d)。
    很容易,我们便求出了q(u)=(r-d)/(u-d),q(d)=(u-r)/(u-d)。

    在这里,我们引入风险中性定价(risk-neutral valuation)的概念。在一个风险中性世界(risk-neutral world)中,投资者对风险都秉持中性的态度,也就是说投资者对风险不要求任何形式的补偿,因而在这样的世界里,所有证券的期望收益率均等于无风险利率。在风险中性世界里,期权的价格等于其数学期望按无风险利率进行贴现所得数值。这就是风险中性定价原理在期权定价领域的重要应用。用上述思想来对资产进行定价就叫做风险中性定价。

    例1:假设市场年化无风险利率为4%股票当前价格为10元,3个月后股票的价格可能涨至12元,也可能跌至8元。以该只股票为标的,行权价为11元,3个月后到期的认购期权现在的价格是多少?(请用风险中性定价方法进行计算)

    首先,我们设q为股价上涨对应的风险中性概率。由于在风险中性世界里,股票的期望收益率等于无风险利率,这就意味着q必须要满足
    计算可得q=0.525,1-q=0.475。

    因而,3个月后,认购期权价格为1的风险中性概率为0.525,价格为0的风险中性概率为0.475,期权价格=(0.525×1+0.475×0)
    =0.520。

    通过这一例题,我们再度看到了风险中性定价法的“威力”。事实上,我们可以从数学上严格地证明,在对期权进行定价时可以放心地假设世界是风险中性的,由此得到的结果不仅在风险中性世界里是正确的,在现实世界也是成立的。

    利用风险中性定价原理可以大大简化问题的分析。因为在风险中性世界里,所有资产都要求相同的收益率,即无风险利率;而且所有资产的定价都可以运用风险中性概率计算出未来收益的预期值,再以无风险利率贴现得到。最后再将所得到结果放回到现实世界中,就获得了有实际意义的结果。利用风险中性定价方法对金融资产进行定价,其核心环节是构造出风险中性概率。

    至此,我们将单步二叉树模型的定价步骤总结如下:
    1.  列出股价在到期日的两种价格情形;
    2.  求出股价上涨和下跌对应的风险中性概率值;
    3.  求出期权到期价格在风险中性概率分布下的期望值;
    4.  乘以贴现因子得到期权的定价。
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    萍水相逢,尽是他乡之客

    5 个回复

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    哈哈 支持啊 可以换头像咯
    关注高人
    搞笑..哈哈.
    5#
    mcyCCl  3级会员 | 2017-7-16 19:55:23
    谢谢
    6#
    qaz2569qaz  QQ用户 | 2018-11-16 09:41:45
    论坛越来越数学化,学术化了哈
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